7.17 数论基础学习笔记【正睿】

作者：XiaoQuQu，发表于 Wed Jul 17 2024。

BSGS 求 $a^x\equiv b\pmod p$

令 $P=\lceil p\rceil$ ，考虑将 $x$ 表示为 $x=uP-v$ ，然后有 $a^{uP}=ba^v$ ，预处理 $\forall v\in[0,P]$ 等号右边，然后在 $\forall u\in[1,P]$ 看一下是否有对应的 $ba^v$ 即可，时间复杂度 $O(\sqrt p\log p)$ 。

int quickpow(int a, int b, int p) {
	int ret = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) ret = ret * a % p;
		a = a * a % p; b >>= 1;
	}
	return ret;
}

// calculate the smallest x such that a^x = b (mod p)
int BSGS(int a, int b, int p) { // x = uP - v
	map<int, int> mp;
	int P = ceil(sqrt(p)), pw = 1;
	for (int v = 0; v <= P; ++v) {
		mp[pw * b % p] = v;
		pw = pw * a % p;
	}
	int ans = INT_MAX;
	for (int u = 1; u <= P; ++u) {
		int t = quickpow(a, u * P, p);
		if (mp.find(t) != mp.end()) ans = min(ans, u * P - mp[t]);
	}
	return ans;
}

exBSGS 当 $a,p$ 不互质下的 BSGS

发现左右两边同时除以一下 $\gcd(a,p)$ ，如果还是不互质就继续除，直到互质为止，此时假设除了 $k$ 次，式子就会变成 $\dfrac {a^k}Da^{x-k}\equiv b\pmod{\dfrac{p}{D}}$ ，然后 BSGS 就可以处理了。

// calculate the smallest x such that a^x = b (mod p)
int exBSGS(int a, int b, int p) {
	int d = __gcd(a, p), k = 0, A = 1;
	if (b == 1) return 0;
	while (d > 1) {
		if (p == 1) return k;
		if (b % d) return -1;
		p /= d; b /= d; A = A * (a / d) % p; ++k;
		d = __gcd(a, p);
		if (A == b) return k;
	}
	if (p == 1) return k;
	// a^k/D*a^{x-k}=b/D(mod p/D), BSGS
	map<int, int> mp;
	mp[b] = 0; 
	int P = ceil(sqrtl(p)), pw = 1;
	for (int v = 0; v <= P; ++v) {
		mp[pw * b % p] = v;
		pw = pw * a % p;
	}
	pw = quickpow(a, P, p);
	int ans = LLONG_MAX, nw = pw;
	for (int u = 1; u <= P; ++u) {
		int t = nw * A % p;
		if (mp.find(t) != mp.end()) ans = min(ans, u * P - mp[t]);
		nw = nw * pw % p;
	}
	return ans == LLONG_MAX ? -1 : ans + k;
}

exCRT 同余方程的合并

考虑如何合并两个同余方程 $x\equiv b_1\pmod {a_1},x\equiv b_2\pmod {a_2}$ ，式子可以表示成 $x=k_1a_1+b_1=k_2a_2+b_2$ ，然后我们移项，得到 $k_1a_1-k_2a_2=b_2-b_1$ ，这是一个标准的 exgcd 形式，直接求出 $k_1,k_2$ ，然后就能凑出一个 $x'=k_1a_1+b_1$ ，原来的同余方程组就被转换成了 $x\equiv x'\pmod {\operatorname{lcm}(a_1,a_2)}$ 。

#define iii __int128

iii lcm(iii a, iii b) {
	return a * b / __gcd(a, b);
}

void exgcd(iii a, iii b, iii &x, iii &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	int xx, yy;
	exgcd(b, a % b, xx, yy);
	x = yy; y = (xx - yy * (a / b));
}

const int MAXN = 1e5 + 5;
int n, a[MAXN], b[MAXN];

void work() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i] >> b[i];
	iii a1 = a[1], b1 = b[1];
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		iii d = __gcd(a1, a[i]);
		iii k1, k2, _ = (b[i] - b1) / d;
		exgcd(a1, a[i], k1, k2);
		k1 *= _; k2 *= _;
		k1 %= (a[i] / d);
		if (k1 < 0) k1 += a[i] / d;
		b1 = (ii)k1 * a1 + b1;
		a1 = lcm(a1, a[i]);
		b1 %= a1;
		if (b1 < 0) b1 += a1;
	}
	cout << (int)b1 << endl;
}